用字母表示数与代数式

一、知识要点：

这部分主要是关于代数式及其简单应用的知识，包括字母表示数，列代数式，求代数式的值，公式等内容。要求理解字母可以表示我们学过的任何数，并初步了解字母表示数的优越性；要求学生会说出代数式所表达的意义，会列代数式表示简单的数量关系，会求代数式的值；要会用公式解决比较简单的实际问题，在了解掌握这些知识的同时，还要初步了解抽象概括的思维方法。

二．学法指导：

    这一部分知识的重点是列代数式，难点也是列代数式。
   （1）用字母表示数是代数与算术的本质区别。
    在这在这一章的开头引进了字母表示数，这是列代数式的基础，而引进字母表示数，则是代数与算术的根本区别。小学学的算术，是具体的一个数，而引进字母表示数，比如字母a，它可以表示任意一个数，它可以给我们带来方便，用字母表示得更加简明。

   （2）复习小学学过的公式及运算律要提高到用字母表示数的角度去思考。
    字母表示数的问题，虽然是初中教材才提到的内容，我们在小学也已经学过，比如表示运算律，如加法的交换律，举一个例子如2+3=3+2，用语言叙述就是：两个数相加，若改变前后顺序相加，加得的结果不变，用字母表示就是a+b=b+a，这里用字母表示后，就使得原有的运算律表达起来更简捷，更直接，更方便。对于其它的运算律也是如此。这样就将原来学过的知识提高了认识，既是熟悉的问题，又用新的观点去认识这一问题。
    公式也是一样，小学学习了不少公式，比如三角形面积公式，长方形面积公式等等，这也是字母表示数的一种重要应用，若a表示三角形的底，h 表示三角形的高，那么就表示三角形的面积，给字母a,h一个确定的值就可以确定一个三角形的面积。

   （3）基本数量关系的语言与代数式的互化
    运用代数的方法解决问题，一个非常重要的前提就是把问题中的数量关系用代数式表示出来，因此列代数式本身不仅是这一章的重点与难点，也在整个初中学习中都起了很大的作用。
    给了一个代数式，若要说出这个代数式的意义，这是用数学语言对代数式中的字母，数及它们的关系用语言表达出来，要求准确无误，这也是在培养我们的语言表达能。对于易混的代数式，要找出它们的区别与联系，比如中，可以说成a,b两数的和的平方，叙述为a、b两数的平方的和，叙述为a与的和，另外在叙述意义时，还要注意最后的运算是么而去表达，比如，可叙述为a与b两数差与c与d两数和的商，强调除的运算。

   列代数式更是一种语言表达，先要将实际问题中的数用字母表达，再将这些数量之间关系用运算符号把它们连接起来，特别注意的是，什么时候该加括号，什么时候不该加。
列代列代数式时还要注意一些问题，比如乘号的问题，当数字与字母相乘或字母与字母相乘时，可以省去中间的乘号，如a乘以b ，可写做ab，系数与字母相乘时，也一定将系数写在前面,并省略乘号.系数与字母相乘时,若系数为带分数时，要化为假分数，如与a相乘时，记作。

对应用问题中的列代数式，还要注意应用题所表达的内容，比如两位数的表达，若设十位数字为a，个位数字为b，则两位数表示为10a+b；对于工作问题，完成一项工作，甲要a天完成，则甲一天完成，乙要b天完成，则乙一天完成，浓度问题中，溶质与溶液比乘以百分数即为浓度。像这些基本的数量关系都要求掌握，并要求会用代数式表达。

因此对于代数式这两方面的语言的转化，应当在学习中予以重视，如何表达得更准确，更精确，要不断研究并予以提高。

（4）公式及公式变形
公式是用字母表示数的一个重要应用。小学学过很多公式，都是用字母表示数的实例。如三角形面积公式中的，其中a是三角形的底边，h是三角形的高，给出a与h的基体数值，三角形的面积就可以求出来了，代入a与h的数值，求出数值，就是代数式的求值问题。

又如梯形的面积公式，其中a,b代表上下底,h代表梯形的高,若已知上下底及高，只要直接代入求值就可以计算出梯形面积了，但若已知梯形上底a=2cm，高h=6cm，面积为，而求下底b的值，就要先将公式变形为表示b的形式，再代入数值计算，变形过程为

这种公式变形的能力要求应当很高，它对于今后学习其它知识是很有用的。又如距离、速度、时间之间的关系，用S=vt表示，它也可以变形为及形式表示，根据求不同的量而选择不同的公式。有时还需要总结归纳规律去推导出一些公式，这就要求我们具有一定的推理能力，要学会从特殊到一般的推理方法。比如3个球队进行单循环比赛（参加比赛的每一个队都与其他所有的队各赛一场）总的比赛场数是三场，而4个队参加比赛时，每一个队都要与其它三个队比赛，而二个队比赛只算一场，因此应为场，这样再分析五个队比赛时的总场数为，就可以归纳出一般m个队比赛场数为了，这些就是从反映数量关系的一些数据中分析出来，而推导出公式。

在学习知识的同时，注重能力的提高是我们学习与教学中尤为注意的问题，在学习中，不断提高数学的素质，是十分必要的。

（5）注重格式要求，养成良好习惯。

    刚刚接触到字母，在学习中一定要注意自己的书面表达，因为只有能正确的表达出来，才能把想要说明的问题说清楚。
    在求代数式的值时，因为由于代数式中字母的取值不同，而求出代数式的值不同，因此限定代数式中字母的取值是十分重要的。因此求代数式值时，一定要写出当字母取值为多少时，再代入求值。
    又如在表示代数式时，表示一个偶数为2n，一定要注明n为任意整数，表示任一个奇数为2n+1，也要注明n为任意整数的条件，这些不是一个简单的书写格式问题，而是对概念的理解问题，在学习在应当严格要求自己书写规范。

例题解析：

    例1、说出下列代数式的意义：
   （1）2x+y (2)2(x+y) (3)(m+n)(m-n)
    分析：说明代数式的意义，就是要用简明而不致引起误解的语言说明白。要将代数式中的运算关系及字母、数学之间的关系表达清楚。
    解:（1）2x-y的意义是2x与y的差。
   （2）2(x+y)的意义是2与x+y的积。
   （3）(m+n)(m-n)的意义是m，n两数的和与两个数差的积。
   （4）的意义是a的平方减去b的平方的差。
   （5）的意义为a的平方与b的差。
   （6）的意义是a除以bc的商。
   说明：表示代数式意义时要强调最后的运算，如2x-y要强调差，而（m+n）(m-n)要强调积。

    例2、用代数式表示
   （1）与7的和为x的数；
   （2）与x+5的积是y的数；
   （3）除以x+7商是y的数。
    分析：在用代数式表示时，因为叙述的方法有些不同，因此思考应当逆着去想，如与7的和为x的数，实际上是两个数和为x，其中一个加数为7，求另一个数，应表示为x-7。
    解：（1）与7的和为x的数为x-7。
    （2）与x+5的积是y的数为。
    （3）除以x+7商是y的数为y(x+7).
    例3、用代数式表示：
   （1）被3整除的数；
   （2）被3除商n余7的数；
   （3）任意一个奇数。
   分析：整除的概念是除得的商正好是整数而没有余数，而被除数、除数、商之间的关系也是固定的关系。因此应当通过列代数式明确它们之间关系。第三小题中的奇数要注意是在整数范畴中讨论奇数与偶数。
    解：
   （1）设k为整数，被3整除的数写为3k。
   （2）被3除商n余7的数为3n+7。
   （3）任一奇数表示为2n+1（n为任意整数）。
   说明：第（3）小题中的n为任意整数一定不能丢。

   例4、用一根定长为a的铁丝围成一个正方形，再用同样长的铁丝围成一个圆形，问哪个面积大？
   分析：这里实际上是已知正方形与圆的周长为a，求两个图形的面积，再比较面积的大小的问题。
   解：正方形的周长为a，则边长为，正方形的面积为。

   圆的周长为a,则圆的半径为，则圆的面积为，即。

   ∴周长相同时，圆的面积比正方形的面积大。
   例5、已知，求的值，其中。

   分析：这可以看做一个代数式的求值问题，但与我们前面的求值又不同，不是直接给出字母的具体数值，而是要根据字母之间关系求出数值，可以设，那么a、b、c都可以用k表示，这样都变为含有k的代数式的值就可以求了。
   解：设，则a=3k，b=4k，c=5k，

三、练习：

1．选择题：

（1）a与b的平方的和应表示为（）
D以上都不对
（2）以下代数式的写法正确的为（）

（3）现有盐a千克，水b千克，混合后盐水的浓度是（）

（4）用代数式表示与a-1的和是25的数应为（）
A (a-1)+25 B 25-(a-1) C 25-a-1 D a-1-25

2．填空题：

（1）x与y和的40%是       。
（2）两个连续整数表示为    。
（3）三个连续偶数表示为     。
（4）与3a的和为b的数是      。
（5）设甲数为x，乙数比30与甲数的和多20%，用代数式表示乙数为      。
（6）当a= ，时， =___ ； =_____。

3．解答题：
（1）盐水x克，加水y克后，浓度为10%，含盐量用代数式表示出来。
（2）当a=1，时，求代数式的值。
（3）圆柱的底面积为，高为10，求底面半径r和体积v。
（4）一种树苗生长年数用n表示，高度用h表示，树苗原高80cm，测得数据如下：1年高度为80+6，2年高度为80+12，3年为80+18，4年为80+24，写出年数n表示h的公式。

参考答案：